Вероятностная модель финансового рынка 3 часть

Плотность нормального распределения случайного вектора при известном для каждого наблюдения задается функцией:

.

Отсюда совместная плотность распределения независимых случайных векторов :

Логарифмическая функция правдоподобия:

(3.2.15)

Приравняем к нулю частные производные:

Решая систему уравнений, получаем оценки для и :

(3.2.16)

Оценки для и , полученные методом наименьших квадратов и методом максимального правдоподобия, совпадают. Будем обозначать их в дальнейшем и . Они являются:

1. несмещенными, так как:

2. состоятельными, т.е. сходится по распределению к , или

;

3. асимптотически нормальными, т.е. при , где – асимптотическая информационная матрица Фишера . Оценить матрицу ковариаций для полученных оценок и можно с помощью информационной матрицы Фишера:

.

Имеем:

,

где ;

4. асимптотически эффективными, т.е. , где – любая другая состоятельная и асимптотически нормальная оценка параметра .

Что касается полученных оценок и для параметра , то является состоятельной, а состоятельной и несмещенной оценкой.

18. Проверка гипотезы о свободном члене в уравнении регрессии модели Шарпа – Линтнера.

Рассмотрим уравнение регрессии , введенное в предыдущем параграфе. Полученные оценки параметров и асимптотически имеют нормальное распределение:

,

.

Необходимо проверить гипотезу , которая вытекает из сопоставления уравнения регрессии с уравнением Шарпа – Линтнера .

Для проверки гипотезы рассмотрим следующие тесты:

· тест Вальда, который использует оценки параметров в модели без ограничений (примером модели без дополнительных ограничений на параметры является так называемая рыночная модель [2]);

· тест отношения правдоподобия, который использует оценки параметров в модели без ограничений и в модели с дополнительными ограничениями на параметры.

Тест Вальда основан на критической статистике:

,

которая асимптотически имеет распределение с степенями свободы в соответствии с размерностью вектора . Если матрица ковариаций ошибок неизвестна, то можно использовать ее состоятельную оценку .

Тест отношения правдоподобия использует для проверки нулевой гипотезы оценки параметров уравнения регрессии как с ограничением, так и без него. Помимо логарифмической функции правдоподобия (3.2.15) и полученных с ее помощью оценок (3.2.16) для параметров и в модели без ограничений, для построения критической статистики необходимо также рассмотреть логарифмическую функцию правдоподобия для уравнения регрессии с ограничением , т.е.:



, (3.2.17)

для которой получаем следующие оценки:

При построении критической статистики теста отношения правдоподобия используется разница максимумов логарифмических функций правдоподобия для модели с ограничением и модели без ограничения:

,

где – значение логарифмической функции правдоподобия (3.2.15), при котором вместо неизвестных параметров и используются их оценки (3.2.16), обеспечивающие максимум ; – максимальное значение функции правдоподобия для уравнения регрессии с ограничением.

Заметим далее, что в соответствии с известными из линейной алгебры равенствами и , где – оператор взятия следа матрицы , получаем:

где – единичная матрица размера . Аналогичным образом, используя свойства следа матрицы, получаем, что . Следовательно:

.

Критическая статистика асимптотически имеет распределение. Количество степеней свободы определяется как разность между размерностью всего параметрического множества и размерностью его подмножества, в котором верна нулевая гипотеза. Размерность равна количеству независимых параметров модели без ограничений, а – числу независимых параметров модели с ограничениями.

Независимые параметры модели без ограничений представлены параметрами матрицы ковариаций ошибок , параметрами вектора и параметрами , а модель с ограничениями имеет на независимых параметров меньше в соответствии с размерностью вектора . Следовательно, критическая статистика будет иметь степеней свободы.

19. Оценка параметров и проверка гипотез в уравнении регрессии модели Блэка

Рассмотрим уравнение Блэка:

, (3.2.18)



где .

В данной модели параметры, которые необходимо оценить, представлены коэффициентами бета для активов, т.е. , и ожидаемой доходностью портфеля с нулевым коэффициентом бета , который мы обозначили через .

Пусть – вектор доходностей рисковых активов в момент времени , а – доходность рыночного портфеля в момент , т.е.:

Сделаем следующие предположения:

1. Доходности актива во времени, т.е. , , являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами. Совместное распределение доходностей активов , т.е. распределение случайного вектора , является нормальным. (Данное предположение не требуется в случае использования метода наименьших квадратов).

2. Коэффициенты не зависят от времени.

3. Соотношения между и , являются линейными, т.е. их можно описать следующим уравнением регрессии:

,

где – векторы коэффициентов регрессии, – вектор ошибок.

4. Ошибки являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, для которых выполнены условия гомоскедастичности:

~ ,

.

5. – условие независимости доходности рыночного портфеля и вектора ошибок.

Используя метод наименьших квадратов или метод максимального правдоподобия, получаем оценки параметров и , совпадающие с оценками этих параметров для модели Шарпа – Линтнера:

Разница между полученными оценками для разных моделей будет состоять лишь в том, что в модели Шарпа – Линтнера под и понимаются премии за риск, а в модели Блэка – реальные доходности.

По аналогии с оценками в уравнении регрессии для модели Шарпа – Линтнера оценки для и будут асимптотически нормальными:

,

.

В рамках модели Шарпа – Линтнера проверяется следующая гипотеза:

,

где

Функция правдоподобия для уравнения регрессии модели Шарпа – Линтнера с ограничением :

Дифференцируя ее по и и приравнивая частные производные к нулю, получаем оценки для модели с ограничением:

(3.2.19)

Критическая статистика теста отношения правдоподобия:

имеет асимптотически распределение с степенями свободы. По сравнению с моделью Шарпа – Линтнера, критическая статистика теряет одну степень свободы, так как модель с ограничениями имеет на независимый параметр меньше:

Количество независимых параметров
модель без ограничений модель с ограничениями
Матрица ковариаций ошибок
Вектор
Вектор
Параметр

Использование теста отношения правдоподобия в данной форме связано с определенными неудобствами, вызванными тем, что вычисление оценок параметров и требует применения итерационных методов, поскольку оценки (3.2.19) являются взаимозависимыми. Рассмотрим способ, позволяющий преодолеть этот недостаток.[3]

Для модели Блэка:

,

имеем следующее уравнение регрессии:

, (3.2.20)

в котором независимой (объясняющей) переменной является , а зависимой (объясняемой) – .

Оценки модели (3.2.20) без ограничений, полученные с помощью метода максимального правдоподобия:

(3.2.21)

Максимальное значение логарифмической функции правдоподобия для модели без ограничений:

не зависит от .

Оценки модели (3.2.20) с ограничением :

(3.2.22)

позволяют вычислить максимальное значение логарифмической функции правдоподобия с ограничением:

,

которое зависит от .

Простой подстановкой формул (3.2.21) и (3.2.22) легко проверить, что выражается через и следующим образом:

.

Тогда получаем:

Заметим, что

,

тогда

Критическая статистика теста отношения правдоподобия:

Минимизация разности по позволяет найти оценку для , полученную методом максимального правдоподобия. В силу свойств логарифмической функции минимизация равносильна максимизации функции:

,

которая в общем виде представима следующим образом:

,

где и

Значение , соответствующее максимуму , определяется исходя из решения уравнения , т.е.

откуда получаем квадратное уравнение относительно :

,

которое имеет два решения: одно – соответствующее минимуму , а другое – максимуму . Таким образом, последнее решение является оценкой для , полученной методом максимального правдоподобия. Подставив ее в (3.2.22), получим оценки для параметров и .

20. Оценка риска в модели ценообразования финансовых активов

Рассмотрим уравнение регрессии для модели Шарпа – Линтнера, записанное в следующем виде:

.

В соответствии с предположением 5 для этого уравнения , следовательно:

. (3.2.23)

Для уравнения регрессии модели Блэка:

получим то же выражение (3.2.23).

Риск, связанный с инвестированием в актив , оценивается исходя из подхода Марковитца дисперсией его доходности и складывается из двух частей: систематического, присущего рынку в целом, и несистематического, связанного непосредственно с активом. Выражение (3.2.23) показывает, что систематический риск измеряется величиной , определяемой дисперсией рыночного портфеля, а несистематический риск оценивается как . Таким образом, коэффициент бета актива имеет отношение к систематическому риску. В редких случаях, когда , т.е. , актив с отрицательной премией за риск используется для страхования от риска, связанного с рыночным портфелем.

Покажем далее на примере модели Шарпа – Линтнера (результаты для модели Блэка будут аналогичными), что несистематический риск может быть снижен с помощью диверсификации. Пусть инвестор формирует портфель , тогда его доходность будет . Для актива имеем:

.

Следовательно:

где .

Отсюда .

Пусть . Тогда для несистематического риска диверсифицированного портфеля имеем:

21. Однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель

Исследование взаимосвязей элементов производства приводит к рассмотрению производствен­но-технологической интерпретации экономики.

Представим эти взаимосвязи в виде схемы на рис. 18.1.

Рис. 18.1

На рис. 18.2 выделены факторы, характеризующие производство: труд ( ), средства труда (основные производственные фонды) ( ) и предметы труда ( ). Последние включают, с одной стороны, элементы природы, или природные ресурсы ( ), и предметы труда ( ), возвращенные в производство как часть совокупного общественного продукта.

Результатом производственной деятельности является валовой продукт ( ), распределяемый в блоке на производственное потребление ( ), и конечный продукт ( ). В свою очередь, конечный продукт ( ) делится в блоке распределения на валовые капитальные вложения ( ) и непроизводственное потреб­ление ( ). Валовые капитальные вложения ( ) делятся на амортизационные отчисления ( )и чистые капитальные вложения, идущие на расширение производственных фондов (блок ).


5976023735653020.html
5976074506680550.html
    PR.RU™