Методические указания по выполнению контрольной работы

При выполнении контрольных работ по математике нужно придерживаться следующих правил.

1. Каждую контрольную работу выполнять в отдельной тетради чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.

2. На обложке тетради ясно написать фамилию, инициалы, учебный шифр, номер контрольной работы, название дисциплины. В конце работы указать использованную литературу, дату выполнения и расписаться.

3. В работу включить все задачи, указанные в задании, строго по своему варианту.

4. Решения задач располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

5. Перед решением каждой задачи записать полностью ее условие.

6. Решения задач излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

7. После получения прорецензированной работы, исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты, и выполнить все рекомендации рецензента.

Если работа возвращена на доработку, то нужно выполнить указания рецензента в той же тетради в короткий срок и сдать работу на повторную проверку. В связи с этим рекомендуется оставлять в конце тетради несколько чистых листов.

По каждой работе со студентом проводится собеседование, после чего выставляется зачет по контрольной работе. Без зачтенных контрольных работ студент к аудиторной контрольной работе не допускается.

В предлагаемых методических указаниях решены задачи, аналогичные тем, которые даются студентам-заочникам в контрольных работах; обращено внимание на основные трудности и типичные ошибки, которые допускаются при выполнении контрольных работ.

Перед решением каждой задачи предлагаем ознакомиться с основными вопросами теории. Перечисленные ниже вопросы по каждой теме являются основными при защите контрольных работ.

При выполнении контрольных работ, давая детальные решения задач, не следует вдаваться в подробные словесные объяснения.

Контрольная работа посвящена темам: «Дифференциальное и интегральное исчисление».

Задача 1-10.

Относятся к теме «Дифференциальное исчисление». Требуется исследовать и построить график функции. Предварительно ознакомьтесь с планом исследования функции.

Задача. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

Используем схему исследования функции:

1. Находим область определения функции.

Функция определена на всем множестве вещественных чисел, кроме тех значений, при которых знаменатель этой функции обращается в ноль: и . Следовательно, областью определения этой функции будет объединение интервалов:

.

2. Исследуем функцию на четность.

Таким образом, данная функция является четной, следовательно ее график будет симметричен относительно оси ординат.



3. Находим вертикальные асимптоты к графику функции.

Вертикальные асимптоты могут быть в точках разрыва функции и . Сначала рассмотрим точку . Если хотя бы один из пределов этой функции при слева и справа равен бесконечности, то прямая является вертикальной асимптотой.

При слева:

При справа:

Таким образом, прямая является вертикальной асимптотой. Аналогично можно проанализировать . Но, поскольку график функции симметричен относительно оси ординат, то, очевидно, что прямая тоже будет вертикальной асимптотой.

4. Исследуем поведение функции на бесконечности. Определим горизонтальные и наклонные асимптоты.

Для этого найдем пределы функции при и :

; .

Следовательно, прямая является горизонтальной асимптотой.

Для того, чтобы найти наклонные асимптоты, нужно исследовать предел . Если он существует и равен конечной величине , а также существует конечный предел

, то прямая является наклонной асимптотой. В нашем случае:

.

Конечного предела не существует, следовательно, наклонных асимптот у графика функции нет.

5. Найдем экстремумы и интервалы монотонности функции.

Для этого вычислим первую производную функции:

.

Найдем значения , при которых производная обращается в ноль или не существует:

.

Производная не существует в точках и , но эти точки не входят в область определения функции. Поэтому критической является только точка . Если в этой точке производная функции меняет знак, то эта точка будет точкой экстремума функции. Исследуем поведение производной при переходе через эту точку.

На промежутке первая производная , следовательно, функция на этом промежутке убывает.

На промежутке производная , следовательно, функция на этом промежутке возрастает.

Поскольку в точке функция меняет знак с минуса на плюс, то точка является точкой минимума.

6. Находим интервалы выпуклости и точки перегиба функции.

Для этого вычисляем вторую производную:

Исследуем поведение второй производной. Точек, в которых вторая производная обращается в ноль, нет (числитель этой дроби всегда отличен от нуля). Поэтому точек перегиба у графика функции не будет. Числитель будет всегда положителен, поэтому знак второй производной определится знаменателем .



Отсюда следует, что на промежутке вторая производная положительна и следовательно, функция будет выпукла вниз.

На промежутках вторая производная будет отрицательна, следовательно, данная функция будет выпукла вверх.

7. Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

Полагаем . Тогда . Точка пересечения графика функции с осью ординат (0 ; 1).

Теперь полагаем . Нет таких значений , которые удовлетворяли бы этому требованию (числитель данной функции всегда отличен от нуля). Поэтому график функции не пересекает ось абсцисс.

8. На основе проведенного анализа строим график функции.

Задачи 11-20 и 21-30 относятся к теме «Интегральное исчисление». Ознакомьтесь с основными вопросами этой темы:

1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

2. Основные свойства неопределенного интеграла.

3. Таблица интегралов.

4. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, интегрирование подстановкой, интегрирование по частям.

5. Интегрирование некоторых рациональных дробей.

6. Понятие определенного интеграла и его основные свойства.

7. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.

8. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

9. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.

Интегрирование есть операция, обратная дифференцированию. , где F(x)-первообразная для подынтегральной функцииf(x), то есть F`(x)=f(x), а С – произвольная постоянная. При интегрировании часто используют свойства неопределенного интеграла:

Идея интегрирования заключается в том, чтобы свести данный интеграл к одному из табличных интегралов. Поэтому, приступая к решению задач ознакомьтесь с таблицей интегралов.

Примечание. Формулы верны, когда х является независимой переменной, а также когда х является функцией другой переменной:х=х(t).


5654353511279172.html
5654420447432593.html
    PR.RU™