Если множество М бесконечно, но, тем не менее, все его элементы можно перенумеровать, то такое множество называется счетным и оно может быть представлено в аналогичном виде

М= .

Помимо перечисления элементов множества можно описывать с помощью, так называемого характеристического свойства (признака), которое означает справедливость (истинность) некоторого утверждения только для элементов данного множества.Обозначим характеристическое свойство символом XS. Тогда множество М описывается как совокупность неких объектов, обладающих свойством XS:

М= .

Возможна также запись

М= ,

которая означает, что множество М состоит из тех элементов множества V, для которых утверждение .

Например, V= ,а ХS - “спелость”. Тогда

М - все спелые ягоды земляники на этой лужайке.

Математика имеет дело с множествами различной природы и, конечно же, с числовыми множествами, для которых приняты стандартные обозначения:

N - множество натуральных чисел (целых больших нуля);

Z - множество всех целых чисел (положительных и отрицательных);

Q - множество рациональных чисел (получаемых в результате

деления двух целых чисел);

R - множество вещественных или действительных чисел

(рациональных чисел в совокупности с иррациональными -

корнями из рациональных чисел).

Теперь, используя рассмотренные выше способы, нетрудно дать формализованное описание этих множеств:

N= ;

Z= ;

Q= = ;

R= .

Множество вещественных положительных чисел как подмножество всех вещественных чисел может быть описано следующей фразой

= ÌR,

где ” ” - характеристический признак.

Для двух множеств X и Y совокупность упорядоченных пар (𝑥, 𝑦), первый элемент которой принадлежит первому множеству, а второй - второму называется декартовым или прямым произведением указанных множеств и обозначается

X×Y= .

В частности, декартово произведение самого на себя множества вещественных чисел как точек числовой оси дает геометрическую плоскость в виде множества точек в координатном представлении

=R×R=

где линия = является осью абсцисс, а

= - осью ординат.

Примеры.

1. Пустое множество

V= =Æили U= =Æ.

2. Множество целых чисел на интервале [0, 3)

C= = .

3. Интервал [-5, 3)={ : -5£ 𝑥<3}.

-1
S
4. Описать вторую четверть единичного круга (помечена штриховкой) как удовлетворяющее соответствующим условиям множество точек плоскости:

S={ + ≤1, [-1, 0], }.

(-2, 1)
Î[-2, 0],
- 2
5. Прямоугольник 2´1 с правой нижней угловой точкой в начале координат может быть представлен в виде множества двояко - либо через характеристическое свойство, либо как

декартово произведение двух отрезков

Р={( ): Î[-2,0], Î[0,1] }=[-2,0]´[0,1].

6. Прямое произведение двух конечных числовых множеств

А={1, 0, -3} и В={2, -3} дает 6 числовых пар

А´В={(1,2), (1,-3), (0,2), (0,-3), (-3,2), (-3,-3)}.

В´А≠ А´В.
При этом

{(2,1), (2,0), (2,-3), (-3,1), (-3,0), (-3,-3)} =

Неравенство в рамке означает, что декартово произведение не обладает свойством перестановочности множеств (коммутативность).



Операции над множествами

Аналогично числам над множествами можно производить определенные операции, для графической иллюстрации которых используются круги Эйлера, иначе называемые диаграммами Венна. Если рассматривается совокупность множеств,
А
U
то множество, содержащее их все, называется универсальным (естественно для данной совокупности). Универсальное множество будем обозначать буквой U и изображать прямоугольником, а сами множества - эллипсами.

Операция пересечения двух множеств дает совокупность их общих элементов, т.е. принадлежащих одному и другому множествам одновременно.Данная операцияобозначается

А∩В= =

В
А
А×В
А∩В
и графически иллюстрируется с помощью кругов Эйлера штриховкой. Из этого определения сразу же следует, что множества без общих элементов имеют своим пересечением пустое множество ( А∩В =Æ). Такие множества называются непересекающимися и соответственно изображаются непересекающимися кругами Эйлера.

Примеры: {1, 3, 2}∩{3, -5, 6, 1}={1, 3}, {1, 3, 2}∩{-5, 6}=Æ.

Данные примеры совместно с иллюстрацией убедительно показывают, что

А∩ВÍА, А∩ВÍВ, А∩А=А.

Объединением множеств называется общая совокупность их всех элементов. Эта операция обозначается так

А∪В={ : или А∩В }.

А
В
Результатом объединения двух множеств является множество, состоящее из элементов первого или второго множества или обоих множеств одновременно (заштрихованная область).

Для рассмотренного выше примера

{1, 3, 2}∪{3, -5, 6, 1}={1, 3, 2, -5, 6}.

Очевидно также, что

АÍ А∪В , ВÍ А∪В, А∪ А=А.

Разбиением множества А называется его представление в виде объединения непересекающихся множеств, т.е.

А= , =Æ " 𝑖≠𝑗, 𝑖, 𝑗 = 1, 2, . . . , 𝑛.




5650988877424444.html
5651056184276955.html
    PR.RU™